Погода в июне в Иерусалиме- днём может доходить до +35. Но скорее будет ниже ,около +28+32 днём ,а так как город на горе и на границе с пустыней то влажность низкая и вечером температура может падать до +17. В общем берите лёгкую одежду чтоб было удобно одевать или снимать лишние "слои".Не забудьте захватить головные уборы и солнечные очки.
В городе наверняка будете передвигаться на трамвае или пешком , с детьми должно быть относительно комфортно. Религиозные евреи с 5-8 детьми передвигаются же там как-то ) В самом Старом городе может быть немного тесно - узкие улицы и тысячи людей. Так что старайтесь туда пораньше или наоборот попозже приходить. Думаю что детям будет некомфортно в толпе в Храме гроба господня , так что ещё раз обдумайте часы посещения.
10 дней на Иерусалим это прекрасно. Вы его почувствуете и сможете ориентироваться под конец и всё посетить. Но имейте в виду что до Тель-Авива поездом минут 40 , советую съездить хоть искупаться 1 раз.Поезд - лучший вариант с детьми.
Насчёт походить. Экскурсии с гидом не дёшевы. В идеале - самим подготовиться и ходить со своей скоростью. Вспомнил - есть в плеймаркете аппликация - аудиогид по Иерусалиму. Там отличные маршруты ,на русском. Частный лицензированный гид стоит примерно начиная от 240$ за 8 часов, так что думайте сами. Хотя гид это тот фактор который превращает мертвые камни в яркую насыщенную историю которая остаётся в памяти навсегда.
Гостиницы. Есть масса сайтов ,тот же букинг ,. ,
. и прочие где вы можете посмотреть варианты. Я бы порекомендовал апартотель с кухней своей , но я тут новенький и не уверен что меня за публикацию ссылок не забанят. К тому же у каждого свои понятия что такое "бюджетный". Дешевле 100$ в день на семью в июне наверное не найти вообще.
Из аэропорта ходит в Иерусалим электричка каждые пол часа , время в пути -25 минут. Важно! Сделайте себе на месте проездной ,зелёная пластиковая карточка ,называется Рав-Кав.В аэропорту можно сделать в зале прилёта ,не выходя из здания.Проезд оплачивать нужно с 5 лет ,значит вам нужно 3 карточки.Они выдаются бесплатно если делать с фото ,анонимная стоит 10ш. Она сэкономит вам деньги.С ее помощью вы сможете покупать проездной на день что выйдет существенно дешевле чем покупать билеты. Ну если вы больше 2 поездок в день делать будете.Ее надо прикладывать к активатору перед каждой поездкой на трамвае в Иерусалиме.