С этим в данном чудо-аэропорту будут проблемы. Ночью только небольшая зона открыта для посетителей, поэтому спят там в самых неожиданных местах, но точно не на лавках (больше всего меня удивило - на полу в туалете). Для сна там есть капсульный отель с почасовой оплатой, но он, по-моему, не сильно дешевый.
Только до вокзала Милана от аэропорта Бергамо днем добираться час. Даже при условии что общ.транспорт ходит ночью от ваших 4 часов в лучшем случае час-полтора свободного времени останется. Может вам поискать развлечения в самом городе Бергамо?
P.S. сама в такой ситуации в этом аэропорту была несколько раз. Первый просто сидели в здании на полу (а больше негде было), второй - арендовали недорогой отель в ближайшем селе, т.к. до этого был длительный перелет. На будущее решила по возможности выбирать второй вариант, очень мне аэропорт не понравился.